Pompe à chaleur piscine : conseiller – soldes – top 3 – Puissance d’un nombre — Wikipédia

On considère un nombre a quelconque et un entier naturel n non nul. La puissance énième de a, notée aⁿ et lue « a puissance n »^[1], ou « a exposant n » est le résultat de la multiplication de ce nombre a par lui-même n – 1 fois :

$\displaystyle a^n=\underbrace a\times \cdots \times a _n\text facteurs \atop n-1\text signes \times =\prod _i=1^na$ 

Le nombre n est appelé l’exposant de la puissance aⁿ.

Le nombre n est un entier naturel (donc positif) et aⁿ est une puissance à exposant entier positif de a.

Cas particuliers

• a¹ = a ;
• On appelle a² la puissance carrée ou le carré de a ;
• On appelle a³ la puissance cubique ou le cube de a.

On remarque que, quel que soit l’entier naturel n non nul, 0ⁿ = 0 et 1ⁿ = 1 (ces nombres sont idempotents).

Pour tout réel a, on pose a⁰ = 1 d’après la convention sur les produits vides. Cette définition sera cohérente avec les opérations algébriques sur les puissances.

La convention 0⁰ = 1 est utilisée dans un cadre abstrait plus large, par exemple pour identifier le polynôme X⁰ avec la fonction constante de valeur 1. De même, dans le cadre de la théorie des ensembles, la notation 0⁰ peut représenter le nombre d’éléments de l’ensemble des applications de l’ensemble vide dans lui-même et donc valoir 1.

Cependant, l’application $\displaystyle (x,y)\mapsto x^y=\exp(y\ln(x))$ , bien définie sur $\displaystyle \mathbb R _+^*\times \mathbb R$ , n’admet pas de prolongement par continuité en (0, 0), ce qui interdit le choix d’une convention acceptable en toute généralité. Néanmoins des conventions sont possibles, limitées à des domaines bien définis^[2].

On considère maintenant un nombre a non nul et un entier naturel n. Le nombre a^–n, lu « a puissance moins n », ou « a exposant moins n » par abus de langage, est l’inverse de la puissance n-ième de a, c’est-à-dire :

$\textstyle a^-n=\dfrac 1a^n.$ 

Le nombre –n est l’exposant de la puissance a^–n.

Le nombre –n étant négatif, car n est un entier naturel, a^–n est une puissance de a à exposant négatif.
On notera, en particulier, que a^–1 = 1/a (l’inverse du nombre a).

On peut appliquer cette règle pour transformer une puissance positive en inverse d’une puissance négative :

$\displaystyle a^n=\dfrac 1a^-n$ 

Il n’y a pas de rapport direct entre le signe du nombre et le signe du résultat. Celui-ci dépend de la parité de l’exposant.

Un nombre élevé à une puissance paire donne un résultat positif : si n est pair, alors (–a)ⁿ = aⁿ.

Un nombre élevé à une puissance impaire donne un résultat du même signe : si n est impair, alors (–a)ⁿ = –aⁿ.

Exemples

• (–2)³, puissance cubique de –2, vaut (–2)×(–2)×(–2) = –8 < 0.
• 3^–4, l’inverse de la puissance quatrième de 3, vaut

$\displaystyle \dfrac 13^4=\dfrac 13\times 3\times 3\times 3=\dfrac 181>0$ .

Remarque.

Il ne faut pas confondre les écritures (–a)ⁿ, où la puissance s’applique à –a (signe moins compris) et –aⁿ, où la puissance s’applique à a uniquement. En effet :

• $\displaystyle (-a)^n=(-a)\times (-a)\times (-a)\times \dots \times (-a)$ 
• $\displaystyle -a^n=-a\times a\times a\times \dots \times a$ 

Il n’y a pas de formule générale sur les additions ou les soustractions de puissances, sauf la factorisation de aⁿ – bⁿ et le développement de (a + b)ⁿ.

En revanche, pour les multiplications et les divisions de puissances, on sait que pour tous nombres a et b et pour tous entiers naturels m et n :

Ces formules sont encore valables si m ou n sont des entiers strictement négatifs, à condition que a et b soient non nuls.

On remarque que toutes ces formules sont cohérentes entre elles et avec la convention « a⁰ = 1 pour tout nombre réel a ≠ 0 ». Par exemple, pour tout entier naturel n ≠ 0 et pour tout réel a ≠ 0,
$\displaystyle a^0=a^n-n=\dfrac a^na^n=1.$ 

Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissance. Leur intérêt réside dans le fait que notre écriture est décimale.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière positive n est un chiffre 1 suivi de n zéros.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière négative –n est un 1 placé à la n-ième position dans un nombre décimal, c.-à-d. précédé de n zéros en comptant celui avant la virgule.

On utilise fréquemment les puissances multiples de 3, qui correspondent aux préfixes du Système international d’unités :

Si la virgule signale la position des unités dans l’écriture d’un nombre décimal, multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d’un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d’un rang vers la gauche. Donc multiplier par 10ⁿ pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite ; diviser par 10ⁿ pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi,

• 325,72 × 10 = 3 257,2
• 325,72/10 = 32,572
• 325,72 × 10⁵ = 32 572 000
• 325,72/10⁵ = 0,0032572

Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.

L’utilisation des puissances de 10 intervient :

• dans l’écriture explicite en base 10 :

325,72 = 3·10² + 2·10¹ + 5·10⁰ + 7·10⁻¹ + 2·10^–2 ;

• dans l’écriture scientifique des nombres décimaux :

325,72 est noté 3,2572 × 10²

où le nombre est écrit comme le produit d’un nombre, appelé mantisse, compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10), avec une puissance entière de 10 appelée exposant ;

• et dans la notation ingénieur :

325,72 est noté 325,72

32 572 est noté 32,572 × 10³

où le nombre est écrit comme produit d’un nombre compris entre 1 et 999 compris, avec une puissance de 10 dont l’exposant est un multiple de 3.

On peut aussi élever un nombre a strictement positif à une puissance à exposant réel quelconque.

Pour cela, on peut définir successivement :

• d’abord des puissances fractionnaires simples : a^1/n = ⁿ√a, où n est un entier, qui coïncident avec les racines n-ièmes pour tout a > 0. Voir racine carrée, racine cubique et racine d’un nombre ;
• puis des puissances fractionnaires composées : a^p/q = (a^1/q)^p = (a^p)^1/q ;
• et enfin, par continuité, des puissances à exposant réel quelconque : a^x peut ainsi être défini pour tout x réel et tout a > 0.

Pour un nombre a > 0 donné, la fonction $\displaystyle x\mapsto a^x$  ainsi obtenue est appelée fonction exponentielle de base a.
Elle peut s’exprimer à l’aide des seules fonctions logarithme népérien et exponentielle :

$\displaystyle a^x=\exp(x\ln(a))$ 

Ces puissances fractionnaires et réelles répondent aux mêmes règles que les puissances entières. Notamment, pour tous a > 0, b et c réels quelconques :

• $\displaystyle a^b\times a^c=a^b+c~;$ 
• $\displaystyle (a^b)^c=a^b\times c.$ 

On a en particulier :

• $\displaystyle a^-1/b=\dfrac 1\sqrt[b]a$  pour tout entier b non nul ;
• $\displaystyle \sqrt[c]a^b=a^b/c$  si c est entier non nul ;
• $\displaystyle (a^b)^1/b=(a^1/b)^b=\sqrt[b]a^b=\left(\sqrt[b]a\right)^b=a^b/b=a$  si b est entier non nul.

ExempleModifier

Soit à trouver l’aire S d’un cube de volume V. En notant a la longueur d’un arête, on a : $\displaystyle \left(S=6a^2\quad \textet\quad V=a^3\right)\Rightarrow S=6V^2/3$ .