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Filtration naturelle

Dans la théorie des processus stochastiques en mathématiques et statistiques, la filtration générée ou filtration naturelle associée à un processus stochastique est une filtration associée au processus qui enregistre à chaque instant son «comportement passé». C’est en un sens la filtration la plus simple disponible pour étudier le procédé donné: toutes les informations concernant le procédé, et seulement ces informations, sont disponibles dans la filtration naturelle. Plus formellement, soit Ω, f, P espace de probabilité, soit I, ≤ un ensemble d’indices bien ordonné, soit s, Σ un espace mesurable, soit X: I × Ω → s un processus aléatoire. Ensuite, la filtration naturelle de F par rapport à X est déterminée pour la filtration f X = f I x I ∈ J’ai donné F i X = σ X j – 1 A , Displaystyle F_ i ^ X = sigma left left.X_ j ^ – 1 A right , ie, la plus petite σ -algèbre sur Ω qui contient toutes les images inverses des sous-ensembles Σ-mesurables de S pour les instants J avant moi. Dans de nombreux exemples, l’ensemble d’indice I est un entier naturel N, incluant éventuellement 0 ou un intervalle « 0, ∞), l’espace d’états est souvent la droite réelle ou l’espace euclidien R. Tout processus stochastique X est un processus adapté par rapport à sa filtration naturelle.